Wpływ technologii zależnej od kapitału na pracującego na równowagę uogólnionego modelu Solowa

Adam Krawiec; Anna Połeć; Tomasz Tokarski

doi:https://doi.org/10.59139/ws.2026.05.3

Adam Krawiec Uniwersytet Jagielloński w Krakowie, Wydział Zarządzania i Komunikacji Społecznej, Instytut Ekonomii, Finansów i Zarządzania, Katedra Ekonomii Matematycznej, Polska / Jagiellonian University in Kraków, Faculty of Management and Social Communication, Institute of Economics, Finance and Management, Department of Mathematical Economics, Poland ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9885-253X , Anna Połeć Uniwersytet Jagielloński w Krakowie, Szkoła Doktorska Nauk Społecznych, Polska / Jagiellonian University in Kraków, Doctoral School at the Social Sciences, Poland ORCID: https://orcid.org/0009-0005-1192-086X , Tomasz Tokarski Uniwersytet Jagielloński w Krakowie, Wydział Zarządzania i Komunikacji Społecznej, Instytut Ekonomii, Finansów i Zarządzania, Katedra Ekonomii Matematycznej, Polska / Jagiellonian University in Kraków, Faculty of Management and Social Communication, Institute of Economics, Finance and Management, Department of Mathematical Economics, Poland ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9551-0892 Wiadomości Statystyczne. The Polish Statistician, vol. 71, 2026, 5, s. 45-70 Opublikowano online: 1 czerwca 2026 DOI https://doi.org/10.59139/ws.2026.05.3

48 Wyświetlenia 62 Pobrania

ARTYKUŁ

(Polski) PDF

STRESZCZENIE

Celem artykułu jest uogólnienie modelu wzrostu Solowa i pokazanie, że w tak uogólnionym modelu może istnieć więcej niż jeden nietrywialny punkt stacjonarny. W neoklasycznej teorii wzrostu gospodarczego, opierającej się na modelu Solowa-Swana, technologia jest egzogeniczna. Odmiennym podejściem charakteryzują się modele wzrostu, w których technologia (lub wiedza) jest kształtowana endogenicznie. Technologia egzogeniczna jest dana z zewnątrz, czyli model nie wyjaśnia skąd się ona bierze, a endogeniczna występuje wówczas, gdy jej poziom jest zależny od innej zmiennej makroekonomicznej w modelu. W artykule zaproponowano alternatywne uogólnienie modelu Solowa z technologią endogeniczną, która jest związana z wielkością nakładów kapitału na pracującego w ten sposób, że wraz ze wzrostem jej wielkości rośnie poziom technologii. Zbadano również dynamikę modelu oraz wyznaczono punkty stacjonarne i przeanalizowano ich stabilność. Przedstawione zostały warunki istnienia stabilnego stanu stacjonarnego. Ponadto przeprowadzono symulacje numeryczne w celu wyznaczenia trajektorii badanych zmiennych makroekonomicznych. Pokazano, że powyżej granicznej stopy oszczędności/ inwestycji istnieją dwa nietrywialne punkty stacjonarne. Niestabilny punkt stacjonarny wyznacza granicę ubóstwa. Jeśli gospodarka startuje z poziomu kapitału na pracującego mniejszego od tego punktu, to w długim okresie zmienne makroekonomiczne są zbieżne do 0. Jeśli początkowy zasób kapitału na pracującego jest większy od tego punktu, to zmienne makroekonomiczne są zbieżne do stabilnego punktu stacjonarnego. Co więcej, ponieważ wielkość kapitału na pracującego zasadniczo determinuje zarówno poziom technologii, jak i wydajność pracy, obie zmienne zachowują się identycznie jak ów zasób.

SŁOWA KLUCZOWE

endogeniczny model wzrostu gospodarczego, technologia, symulacje

JEL

O41, C62, C63

BIBLIOGRAFIA

Aghion, P., Howitt, P. (1998). Endogenous Growth Theory. MIT Press.

Allen, R. D. G. (1975). Teoria makroekonomiczna. Ujęcie matematyczne. Państwowe Wydawnictwo Naukowe.

Arrow, K. J. (1962). The Economic Implications of Learning by Doing. Review of Economic Studies,29(3), 155–173. https://doi.org/10.2307/2295952.

Baier, S. L., Dwyer, Jr., G. P., Tamura, R. (2006). How Important are Capital and Total FactorProductivity for Economic Growth?. Economic Inquiry, 44(1), 23–49. https://doi.org/10.1093/ei/cbj003.

Barro, R. J., Sala-i-Martin, X. (1995). Economic Growth. MIT Press.

Cobb, C. W., Douglas, P. H. (1928). A theory of production. The American Economic Review, 18(1), 139–165. https://www.aeaweb.org/aer/top20/18.1.139-165.pdf.

De Visscher, S., Eberhardt, M., Everaert, G. (2020). Estimating and testing the multicountry endogenous growth model. Journal of International Economics, 125, 1–32. https://doi.org/10.1016/j.jinteco.2020.103325.

Deboeck, B. (2023). Prospects for long-term productivity growth. Quarterly Report on the Euro Area, 22(1), 31–42. https://economy-finance.ec.europa.eu/system/files/2023-05/ip201_en_chapter%20III.pdf.

Dhooge, A., Govaerts, W., Kuznetsov, Y. A. (2003). MATCONT: A MATLAB Package for Numerical Bifurcation Analysis of ODEs. ACM Transactions on Mathematical Software, 29(2), 141–164. https://doi.org/10.1145/779359.779362.

Dykas, P., Tokarski, T., Wisła, R. (2023). The Solow Model of Economic Growth: Application to the Contemporary Macroeconomics Issues. Routledge. https://doi.org/10.4324/9781003323792.

Ferrara, M., Guerrini, L. (2009). The neoclassical model with variable population change. W: M. Jha, C. Long, N. Mastorakis, C. A. Bulucea (red.), Proceedings of the 11th WSEAS International Conference on Mathematical and Computational Methods in Science and Engineering (s. 119–123). World Scientific and Engineering Academy and Society.

Filipowicz, K. (2019). Wpływ interakcji przestrzennych na zróżnicowanie rozwoju gospodarczego Polski. Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego.

Filipowicz, K., Grodzicki, M., Tokarski, T. (2016). Równowaga Solowa przy alternatywnych trajektoriach liczby pracujących. Acta Universitatis Lodziensis Folia Oeconomica, 6(326), 181–202. https://doi.org/10.18778/0208-6018.326.12.

Filipowicz, K., Krawiec, A., Tokarski, T. (2024a). War and Economic Growth: An Analyses Based on Extended Solow Model. Defence and Peace Economics, 36(6), 825–839. https://doi.org/10.1080/10242694.2024.2435280.

Filipowicz, K., Krawiec, A., Tokarski, T. (2024b). Wykłady z teorii wzrostu gospodarczego (t. 1). Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego.

Filipowicz, K., Syrek, R., Tokarski, T. (2017). Ścieżki wzrostu w modelu Solowa przy alternatywnych trajektoriach liczby pracujących. Przegląd Statystyczny, 64(1), 21–40. https://doi.org/10.5604/01.3001.0014.0759.

Florczak, W., Świeczewska, I., Welfe, W. (2013). Modelowanie procesu produkcji w makroekonometrycznym modelu W8D-2010. Acta Universitatis Lodziensis Folia Oeconomica, (294), 133–177. https://dspace.uni.lodz.pl/xmlui/bitstream/handle/11089/10495/05-florczak.pdf?sequence=1&isAllowed=y.

Grossman, G. M., Helpman, E. (1991). Innovation and Growth in the Global Economy. MIT Press.

Heshmati, A., Rashidghalam, M. (2016). Estimation of Technical Change and TFP Growth Based on Observable Technology Shifters (IZA DP No. 10448). https://docs.iza.org/dp10448.pdf.

Kliber, P., Malaga, K. (2003). Zbieżność ścieżek wzrostu gospodarki Polski i polskich województw w latach 1998–2000 do stabilnych stanów równowagi. Studia Regionalne i Lokalne, (4), 41–64. https://studreg.uw.edu.pl/dane/web_sril_files/104/2003_4_kliber_malaga.pdf.

Lucas, Jr., R. E. (1988). On the mechanics of economic development. Journal of Monetary Economics, 22(1), 3–42. https://doi.org/10.1016/0304-3932(88)90168-7.

Malaga, K. (2013, 28–29 listopada). Jednolita teoria wzrostu gospodarczego – stan obecny i nowe wyzwania [referat]. IX Kongres Ekonomistów Polskich, Warszawa.

Mankiw, N. G., Romer, D., Weil, D. N. (1992). A contribution to the empirics of economic growth. Quarterly Journal of Economics, 107(2), 407–437. https://doi.org/10.2307/2118477.

Matsumoto, A., Szidarovszky, F. (2025). Delay Solow model revisited. Metroeconomica, 76(4), 467–480. https://doi.org/10.1111/meca.12494.

Nonneman, W., Vanhoudt, P. (1996). A further augmentation of the Solow model and the empirics of economic growth for OECD countries. The Quarterly Journal of Economics, 111(3), 943–953. https://doi.org/10.2307/2946677.

Philippon, T. (2022). Additive Growth (NBER Working Paper Series No 29950). https://doi.org/10.3386/w29950.

Plata Pérez, L., Calderón, E. (2009). A modified version of Solow-Ramsey model using Richard’s growth function. EconoQuantum, 6(1), 65–70. https://doi.org/10.18381/eq.v6i1.99.

Richards, F. J. (1959). A Flexible Growth Function for Empirical Use. Journal of Experimental Botany, 10(2), 290–301. https://doi.org/10.1093/jxb/10.2.290.

Romer, P. M. (1986). Increasing Returns and Long-Run Growth. Journal of Political Economy, 94(5), 1002–1037. https://doi.org/10.1086/261420.

Romer, P. M. (1990). Endogenous Technological Change. The Journal of Political Economy, 98(5), S71–S102. https://doi.org/10.1086/261725.

Solow, R. M. (1956). A contribution to the theory of economic growth. The Quarterly Journal of Economics, 70(1), 65–94. https://doi.org/10.2307/1884513.

Solow, R. M. (1957). Technical change and the aggregate production function. The Review of Economics and Statistics, 39(3), 312–320. https://doi.org/10.2307/1926047.

Solow, R. M. (2000). Growth Theory. An Exposition (wyd. 2). Oxford University Press.

Swan, T. W. (1956). Economic growth and capital accumulation. Economic Record, 32(2), 334–361. https://doi.org/10.1111/j.1475-4932.1956.tb00434.x.

Ulam, S. (1958). John von Neumann 1903–1957. Bulletin of the American Mathematical Society, 64(3), 1–49. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1958-10189-5.

Uzawa, H. (1965). Optimal technical change in an aggregative model of economic growth. International Economic Review, 6(1), 18–31. https://doi.org/10.2307/2525621.

Vollrath, D. (2024). The Elasticity of Aggregate Output with Respect to Capital and Labor. American Economic Journal: Macroeconomics, 16(4), 470–504. https://doi.org/10.1257/mac.20220215.

Welfe, W. (2003). Łączna produktywność czynników produkcji a postęp techniczny. Studia Ekonomiczne, 36–37(1–2), 94–115.

Wisła, R., Nowosad, A. (red.). (2020). Economic Transformation in Poland and Ukraine. National and Regional Perspectives. Routledge. https://doi.org/10.4324/9781003041375.

Wróć do: