© Gabriela Malik. Artykuł udostępniony na licencji CC BY-SA 4.0
Zależności między cenami kontraktów terminowych na produkty rolne mają istotne znaczenie zarówno z punktu widzenia uczestników rynku, jak i analizy ryzyka na rynkach finansowych. Klasyczne miary korelacji liniowej, takie jak współczynnik Pearsona, mogą nie w pełni odzwierciedlać nieliniowy charakter zależności i współwystępowanie ekstremalnych zmian cen na rynku terminowym. Celem badania omawianego w artykule jest identyfikacja i ocena zależności między dziennymi stopami zwrotu kontraktów terminowych na wybrane produkty rolne (kukurydza, soja, pszenica) notowane na giełdzie Chicago Board of Trade. Analizowano dane za lata 1987–2022. Zastosowano siedem dwuwymiarowych kopul (funkcji powiązań) statycznych: Gaussa, t-Studenta, Gumbela, Claytona, Franka, Joego i Placketta, przy dwóch alternatywnych rodzajach rozkładów brzegowych: normalnym i t-Studenta. Dodatkowym celem badania jest porównanie przydatności wybranych rodzin kopul w modelowaniu analizowanych zależności oraz ocena ich zdolności do odzwierciedlenia empirycznej struktury współzależności. Estymacja parametrów kopul została przeprowadzona metodą największej wiarygodności, a siłę zależności oceniono za pomocą współczynnika tau Kendalla.
Wyniki wskazują, że najlepsze dopasowanie do danych empirycznych zapewniają kopule Placketta i Franka, z kolei w przypadku estymacji parametrów najlepsze wyniki uzyskiwano najczęściej dla kopuli t-Studenta. Zaobserwowana rozbieżność między precyzją estymacji parametrów a oceną jakości dopasowania modeli sugeruje, że podejście statyczne może być niewystarczające do modelowania zależności w czasie. Wskazuje to na potrzebę zastosowania kopul dynamicznych, które uwzględniają zmienność struktury zależności w kolejnych okresach.
cena kontraktu terminowego, funkcja powiązań, kopula, estymacja, rozkład brzegowy, współczynnik tau Kendalla
C10, C58, Q13
Cherubini, U., Luciano, E. (2003). Pricing vulnerable options with copulas. The Journal of Risk Finance, 5(1), 27–39. https://doi.org/10.1108/eb022977.
Cherubini, U., Luciano, E., Vecchiato, W. (2004). Copula methods in finance. John Wiley.
Choe, G. H., Jang, H. J. (2011). Efficient algorithms for basket default swap pricing with multivariate Archimedean copulas. Insurance: Mathematics & Economics, 48(2), 205–213. https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2010.10.006.
Clayton, D. G. (1978). A model for association in bivariate life tables and its application in epidemio- logical studies of familial tendency in chronic disease incidence. Biometrika, 65(1), 141–151. https://doi.org/10.1093/biomet/65.1.141.
Demarta, S., McNeil, A. J. (2005). The t Copula and Related Copulas. International Statistical Review, 73(1), 111–129. https://doi.org/10.1111/j.1751-5823.2005.tb00254.x.
Doman, R. (2011). Zastosowanie kopuli w modelowaniu dynamiki zależności na rynkach finanso-wych. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu.
Frahm, G., Junker, M., Szimayer, A. (2003). Elliptical copulas: applicability and limitations. Statistics & Probability Letters, 63(3), 275–286. https://doi.org/10.1016/S0167-7152(03)00092-0.
Frank, M. J. (1979). On the simultaneous associativity of ????(????,????) and ????+????-????(????,????). Aequationes Mathematicae, 19, 194–226. https://doi.org/10.1007/BF02189866.
Genest, C., Okhrin, O., Bodnar, T. (2024). Copula modeling from Abe Sklar to the present day. Journal of Multivariate Analysis, 201, 1–9. https://doi.org/10.1016/j.jmva.2023.105278.
Genest, C., Rémillard, B., Beaudoin, D. (2009). Goodness-of-fit tests for copulas: A review and a power study. Insurance: Mathematics & Economics, 44(2), 199–213. https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2007.10.005.
van den Goorbergh, R. W. J., Genest, C., Werker, B. J. M. (2005). Bivariate option pricing using dynamic copula models. Insurance: Mathematics and Economics, 37(1), 101–114. https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2005.01.008.
Gubbels, K. B., Ypma, J. Y., Oosterlee, C. W. (2026). Principal Component Copulas for Capital Mo- delling and Systemic Risk. Computational Economics, 68, 111–141. https://doi.org/10.1007/s10614-025-11051-7.
Gumbel, E. J. (1960). Bivariate exponential distributions. Journal of the American Statistical Associa- tion, 55(292), 698–707. https://doi.org/10.2307/2281591.
Herath, H. S. B., Kumar, P., Amershi, A. H. (2013). Crack spread option pricing with copulas. Journal of Economics and Finance, 37(1), 100–121. https://doi.org/10.1007/s12197-011-9171-1.
Hołda, A., Malik, G. (2013). Modelowanie zależności cen kontraktów terminowych na produkty rolne notowanych na giełdzie towarowej w Chicago z wykorzystaniem funkcji kopuli. Studia Ekonomiczne, (135), 64–78.
Hull, J. C. (2009). Options, Futures, and Other Derivatives (wyd. 7). Prentice-Hall International.
Joe, H. (1993). Parametric Families of Multivariate Distributions with Given Margins. Journal of Multivariate Analysis, 46(2), 262–282. https://doi.org/10.1006/jmva.1993.1061.
Joe, H. (1997). Multivariate Models and Dependence Concepts. Chapman & Hall. https://doi.org/10.1201/9780367803896.
Kojadinovic, I., Yan, J. (2011). A goodness-of-fit test for multivariate multiparameter copulas based on multiplier central limit theorems. Statistics and Computing, 21, 17–30. https://doi.org/10.1007/s11222-009-9142-y.
Kojadinovic, I., Yan, J., Holmes, M. (2011). Fast large-sample goodness-of-fit tests for copulas. Statistica Sinica, 21(2), 841–871. https://doi.org/10.5705/ss.2011.037a.
Li, D. (2000). On default correlation: a copula function approach. The Journal of Fixed Income, 9(4), 43–54. https://doi.org/10.3905/jfi.2000.319253.
Malik, G. (2011). Statystyczne własności rozkładu cen produktów rolnych na rynku terminowym na przykładzie giełdy towarowej w Chicago. W: J. Teczke, J. Czekaj, B. Mikuła, R. Oczkowska (red.), Nauka i gospodarka w dobie destabilizacji (s. 81–92). Biuro Projektu Nauka i Gospodarka, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie.
Malik, G. (2024). Estimation of Parameters of Marginal Distributions of Return Rates of Selected Agricultural Products Listed on the Chicago Commodity Exchange. International Journal of Applied Technology & Leadership, 3(1), 1–13.
Malik, G. (2025). Analiza ryzyka cenowego wybranych produktów rolnych na podstawie rozkładów ekstremalnych. Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Ekonomii i Informatyki w Krakowie, (21), 123–142. https://doi.org/10.60154/ZeszytyNaukoweWSEI.2025.21.1.07.
Nelsen, R. B. (2006). An Introduction to Copulas (wyd. 2). Springer Verlag. https://doi.org/10.1007/0-387-28678-0.
Nikoloulopoulos, A. K., Karlis, D. (2008). Copula model evaluation based on parametric bootstrap. Computational Statistics & Data Analysis, 52(7), 3342–3353. https://doi.org/10.1016/j.csda.2007.10.028.
Pinheiro, C. A. O., de Senna, V., Matsumoto, A. S. (2016). Price forecasting for future contracts on agribusiness through neural network and multivariate spectral analysis. Revista de Gestao, Finan-ças e Contabilidade, 6(3), 98–124. https://doi.org/10.18028/rgfc.v6i3.1959.
Plackett, R. L. (1965). A class of bivariate distributions. Journal of the American Statistical Associa-tion, 60(310), 516–522. https://doi.org/10.1080/01621459.1965.10480807.
Schweizer, B., Sklar, A. (1974). Operations on distribution functions not derivable from operations on random variables. Studia Mathematica, 52(1), 43–52. http://eudml.org/doc/217948.
Sklar, A. (1959). Fonctions de répartition á N dimensions et leurs marges. Annales de l’Institut Statis-tique de l’Université de Paris, 8(3), 229–231. https://hal.science/hal-04094463/document.
Sun, Y. (2025). Performance of Pairs Trading Strategies Based on Various Copula Methods. Journal of Risk and Financial Management, 18(9), 1–60. https://doi.org/10.3390/jrfm18090506.
Yan, J. (2007). Enjoy the Joy of Copulas: With a Package copula. Journal of Statistical Software, 21(4), 1–21. https://doi.org/10.18637/jss.v021.i04.
Yildirim, E., Cengiz, M. A. (2024). Stochastic Copula Approach for Modeling Dependency: Evidence from Commodity and Exchange Rate Markets. Istatistik Araştirma Dergisi. Journal of Statistical Research, 14(1), 1–18. https://izlik.org/JA88SL54US.
