Jedną z ważniejszych kwestii do rozstrzygnięcia w analizie szeregów czasowych jest określenie ich zmienności oraz identyfikacja procesu kształtowania ich wartości. W ujęciu klasycznym zmienność najczęściej utożsamiana jest z wariancją stóp wzrostu. Tymczasem natura ryzyka to nie tylko zmienność, lecz także przewidywalność zmian, którą można ocenić przy użyciu wymiaru fraktalnego. Celem artykułu jest prezentacja zastosowania wymiaru fraktalnego szacowanego metodą podziału pola do oceny właściwości szeregów czasowych. W opracowaniu przedstawiono sposób wyznaczenia wymiaru fraktalnego, jego interpretację, tablice istotności oraz przykład zastosowania. Za pomocą wymiaru fraktalnego opisano właściwości szeregu czasowego wartości indeksu giełdowego WIG w latach 2014–2018 oraz szeregów czasowych stóp wzrostu największych polskich spółek giełdowych w latach 2015–2018. Zastosowana metoda umożliwia zakwalifikowanie szeregu czasowego do jednej z trzech klas, jako szereg: persystentny, błądzenia losowego bądź antypersystentny. Na szczególnych przypadkach pokazano różnice pomiędzy zastosowaniem odchylenia standardowego i wymiaru fraktalnego do oceny ryzyka. Wymiar fraktalny jawi się tu jako metoda pozwalająca na ocenę stopnia stabilności wahań.
wymiar fraktalny, metoda podziału pola, zmienność, błądzenie losowe
C18, C22
Bhatt, S. J., Dedania, H. V., Shah, V. R. (2015). Fractal dimensional analysis in financial time series. International Journal of Financial Management, 5(2), 57–62.
Buła, R. (2017). Analiza wymiaru fraktalnego spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie – aspekty metodyczne. Nauki o Finansach, 1(30), 9–27.
Cervantes-De la Torre, F., González-Trejo, J. I., Real-Ramírez, C. A., Hoyos-Reyes, L. F. (2013). Fractal dimension algorithms and their application to time series associated with natural phenomena. Journal of Physics: Conference Series, 475, 1–10. DOI: 10.1088/1742-6596/475/1/012002.
Charemza, W., Deadman, D. (1997). Nowa ekonometria. Warszawa: Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne.
Chen, Y. (2013). A Set of Formulae on Fractal Dimension Relations and its Application to Urban Form. Chaos, Solitons & Fractals, 54, 150–158. DOI: 10.1016/j.chaos.2013.07.010.
Cryer, J. D. (1986). Time Series Analysis. Boston: Duxbury Press.
Czekaj, J., Woś, M., Żarnowski, J. (2001). Efektywność giełdowego rynku akcji w Polsce: z perspektywy dziesięciolecia. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Dickey, D. A., Fuller, W. A. (1979). Distributions of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root. Journal of the American Statistical Association, 74(366), 427–431. DOI: 10.1080/01621459.1979.10482531.
Dickey, D. A., Fuller, W. A. (1981). Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root. Econometrica, 49(4), 1057–1072. DOI: 10.2307/1912517.
Dubuc, B., Quiniou, J. F., Roques-Carmes, C., Tricot, C., Zucker, S. W. (1989). Evaulating the Fractal Dimension of Profiles. Physical Review A, 39(3), 1500–1512. DOI: 10.1103/PhysRevA.39.1500.
Gómez, C., Mediavilla, Á., Hornero, R., Abásolo, D., Fernández, A. (2009). Use of the Higuchi’s fractal dimension for the analysis of MEG recordings from Alzheimer’s disease patients. Medical Engineering & Physics, 31(3), 306–313. DOI: 10.1016/j.medengphy.2008.06.010.
Guoqiang, S. (2002). Fractal dimension and fractal growth of urbanized areas. International Journal of Geographical Information Science, 16(5), 419–437. DOI: 10.1080/13658810210137013.
Halley, J. M., Kunin, W. E. (1999). Extinction Risk and the 1/f Family of Noise Models. Theoretical Population Biology, 56(3), 215–230. DOI: 10.1006/tpbi.1999.1424.
Harne, B. P. (2014). Higuchi Fractal Dimension Analysis of EEG Signal Before and After OM Chanting to Observe Overall Effect on Brain. International Journal of Electrical and Computer Engineering, 4(4), 585–592. DOI: 10.11591/ijece.v4i4.5800.
Hurst, H. E. (1951). Long-term storage capacity of reservoirs. Transactions of American Society of Civil Engineers, 116, 770–799.
Kale, M., Butar Butar, F. (2011). Fractal analysis of time series and distribution properties of Hurst exponent. Journal of Mathematical Sciences & Mathematics Education, 5(1), 8–19.
Kapecka, A. (2013). Fractal Analysis of Financial Time Series Using Fractal Dimension and Pointwise Hölder Exponents. Dynamic Econometric Models, (13), 107–125. DOI: 10.12775/DEM.2013.006.
Kwiatkowski, D., Phillips, P., Schmidt, P., Shin, Y. (1992). Testing the Null Hypothesis of Stationarity Against the Alternative of a Unit Root: How Sure Are We that Economic Time Series Have a Unit Root?. Journal of Econometrics, 54(1–3), 159–178.
Maddala, G. S. (2006). Ekonometria. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN.
Mandelbrot, B. B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman and Company.
Mosdorf, R. (1997). Dynamiczny model wrzenia na podstawie metody chaosu deterministycznego. Białystok: Wydawnictwo Politechniki Białostockiej.
Newbold, P., Davies, N. (1978). Error Mis-Specification and Spurious Regressions. International Economic Review, 19(2), 513–519. DOI: 10.2307/2526317.
Peters, E. E. (1997). Teoria chaosu a rynki kapitałowe. Warszawa: WIG-Press.
Phillips, P. C. B. (1986). Understanding spurious regressions in econometrics. Journal of Econometrics, 33(3), 311–340. DOI: 10.1016/0304-4076(86)90001-1.
Phillips, P. C. B., Perron, P. (1988). Testing for a Unit Root in Time Series Regression. Biometrika, (75), 335–346.
Przekota, G., Przekota, D. (2004). Szacowanie wymiaru fraktalnego szeregów czasowych kursów walut metodą podziału pola. Badania Operacyjne i Decyzje, 14(3–4), 67–82.
Siemieniuk, N. (2001). Fraktalne właściwości polskiego rynku kapitałowego. Białystok: Wydawnictwo Uniwersytetu w Białymstoku.
Sy-Sang, L., Feng-Yuan, C. (2009). Fractal dimensions of time sequences. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 388(15), 3100–3106. DOI: 10.1016/j.physa.2009.04.011.
Zawadzki, H. (1996). Chaotyczne systemy dynamiczne: elementy teorii i wybrane przykłady ekonomiczne. Katowice: Akademia Ekonomiczna.
Zeug-Żebro, K. (2015). Zastosowanie wybranych metod szacowania wymiaru fraktalnego do oceny poziomu ryzyka finansowych szeregów czasowych. Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe, 227, 109–124.
Zwolankowska, M. (2001). Fraktalna geometria polskiego rynku akcji. Szczecin: Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego.
